Mínimo común múltiplo

Os dejo del vídeo

Máximo común divisor

Hola de nuevo. El máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros es el mayor de todos los divisores comunes que tengan dichos números.

Por ejemplo, vamos a calcular el MCD(12,20). Si escribimos todos los divisores de cada uno:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Vemos que tienen algunos divisores en común, en concreto 1, 2 y 4. Sin contar el 1 (que es divisor de todos los números), vemos que tienen dos divisores comunes. De los dos, el mayor es el 4. Así, diremos que:

MCD(12,20)=4

Esta sería una forma de calcularlo, pero tenemos otras más rápidas (sobre todo si los números son grandes).

El máximo común divisor de dos números podemos calcularlo haciendo la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia. El producto de estos factores, es el MCD.

En el caso anterior:

12=2 x 2 x 3

20=2 x 2 x 5

Vemos que el único factor común es el 2, que en ambos casos está elevado al cuadrado (2x2), de ahí que el MCD sea 2x2=4.

Os dejo el vídeo

Descomponer en factores primos

Una de las cosas fundamentales que debemos saber es descomponer un número compuesto en factores primos. Es decir, se trata de buscar todos los factores primos que al multiplicarse nos dan el número original.

Por ejemplo, el 6, si lo descomponemos en factores primos nos queda 2 y 3, ya que tanto 2 como 3 son números primos y además, 2x3=6.

Para buscar la descomposición de un número, trazamos una línea vertical, colocando a la izquierda el número a descomponer. Ahora empezamos a ver entre qué primos es divisible. Empezamos por 2. Si es divisible, colocamos 2 a la derecha del número, y el resultado de la división a la izquierda, debajo del número original. Y repetimos el proceso. Volvemos a probar con 2. Si no es, seguimos con el siguiente número primo, el 3. Y así sucesivamente.

Cuando nos quede a la izquierda un número primo, lo colocamos también a su derecha y finalmente colocamos un 1 en la izquierda.

Aunque escrito pueda parecer un poco lío, es bastante sencillo.

Por ejemplo, vamos a descomponer 12 y 30:

Os dejo un vídeo, como siempre:

Números primos

Hola amigos. Hoy vamos a hablar de los números primos.

Un número primo es un número natural mayor que 1 que puede dividirse nada más que por él mismo y por 1.

Los números que no son primos decimos que se llaman compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Una forma de calcular los números primos hasta un cierto número es el procedimiento llamado Criba de Erastóstenes. Consiste en ir tachando los múltiplos de cada primo que encontremos. Por ejemplo, el primero es el 2. Pues tachamos de una lista (por ejemplo hasta el 100) todos los múltiplos de 2. Seguimos y vemos que el 3 es primo. Tachamos ahora de la lista todos los múltiplos de 3, aunque veremos que algunos ya están tachados. Y así seguimos hasta el final de la lista.

Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97

Cosas importantes, cosas no importantes

Muchos días en clase observo cómo a veces cuesta separar lo que es realmente importante de lo que no lo es, y de ahí que me haya decidido a escribir esta entrada.

En cada tema que estudiamos en el cole o en el instituto, siempre que se da un tema se rellena con conceptos complementarios para ampliarlo. Pero cada alumno debe ser capaz -me refiero ahora al instituto- de separar lo realmente importante del tema de lo que  o lo es. Y es que muchas veces no todos tienen clara esta diferencia. De ahí que sea fundamental leer bien el tema, tranquilamente, sin prisas y no la tarde antes de un examen. Lo fundamental de una lectura tranquila y sosegada es que podemos captar el tema en su totalidad y darnos cuenta de lo que realmente es fundamental y de lo que no los es. Pero sobre todo, lo importante es saber lo que obligatoriamente debemos de conocer porque va a ser muy importante para el futuro.

Y es que hay cosas que tenemos que saber y aprender para poder seguir avanzando y  no quedar atascados. Hay "ladrillos" básicos que debemos dominar para poder comprender otros temas y no llevarnos siempre repitiendo lo mismo.

Y lo fundamental es que las cosas que tenemos que aprender tienen que quedarse fijadas en nuestra cabeza. Tienen que quedarse igual que tenemos adquiridos otros conocimientos. La clave aquí es no aprender esas cosas fundamentales para un tema o para un examen. Esas cosas hay que saberlas.

Potencia elevada a otra potencia

Hola de nuevo. Para calcular una potencia elevada a otra, dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes. Os dejo el vídeo:

Producto de potencias con el mismo exponente

En esta entrada vamos a ver cómo se multiplican potencias cuando tienen el mismo exponente. En este caso, se multiplican las bases y se deja el mismo exponente.

En el siguiente vídeo puedes ver cómo funciona:

Producto de potencias con la misma base

Vamos a recordar hoy el producto de potencias con la misma base. La propiedad nos dice que dejamos la misma base y sumamos los exponentes. He hecho un vídeo explicativo de la propiedad y de por qué es así. Espero que os guste.

Más sobre el orden de las operaciones

Acabo de terminar un segundo vídeo sobre el orden de las operaciones. En él doy un pasito más adelante y explico operaciones un poco más elaboradas. Al final hago un pequeño resumen.

Espero que os sirva.

Orden de las operaciones

Sigo comprobando en mis clases que muchos alumnos tienen problemas para captar el orden de las operaciones. He preparado un vídeo que creo que aclarará algo las dudas:

Cálculo de porcentajes: cómo subir un porcentaje

Hoy quiero dedicar esta entrada a la forma más eficiente de aplicar una subida de un porcentaje a una cantidad. Recordemos que para calcular un % sobre una cantidad, debemos multiplicar dicho valor del porcentaje por la cantidad y dividir por 100.

Partiendo de esa base, os dejo el siguiente vídeo:

Más sobre los enteros

    Sigo viendo que algunos alumnos de 1º de ESO no terminan de captar las sumas y restas con negativos. Voy a intentar explicarlo con dibujos. Vamos a escribirlos de otra forma:

Números positivos : +

Números negativos: -

  Así, puedo representar cada número con una serie de símbolos:

4 =  + + + +

- 5 = - - - - -

   A partir de aquí, debemos observar que un positivo y un negativo se anulan. Es decir, cada pareja formada por + y por  - se anula. Así, si tenemos que hacer la operación 3 - 6 y dudamos de cuál es la solución, ya tenemos dos recursos para resolverlos:

• La primera forma, pensar en términos de tener y deber tal y como vimos en otra entrada. En nuestro ejemplo, si tengo 3€ y debo 6€, en total ¿cuánto tengo?. Evidentemente, debo 3€. La solución es -3.
• La segunda forma es usando los símbolos que acabamos de ver:

3 =  + + +

- 6 = - - - - - -

   En este caso, vemos que como tenemos TRES parejas de signos que se anulan, lo que nos queda es un total de tres signos rojos, que corresponden a  -3.

Espero que os sirva. Un saludo.

Operaciones con enteros

Hola a todos. Quiero dedicar esta entrada a la suma y resta de números enteros, que parece que causa ciertos problemas a la hora de hacerlo.

La idea básica que debemos manejar con los números enteros es lo que representa un número positivo y lo que representa un número negativo. Para que lo tengamos muy clarito, lo mejor es imaginarnos que los números representan cantidades de dinero. Así, un +4 representaría que tenemos 4€, y un -6 representaría que debemos 6€.

Así que cuando tengamos dudas, siempre podemos pensar en términos de tener o deber dinero:

Número positivo = tener dinero

Número negativo = deber dinero

Una vez visto esto, vamos con los casos que podemos encontrarnos.

• 5 + 6 = 11. Este caso no tiene nada que explicar.
• 5 - 7. En este caso, ya nos detenemos un poco. Lo primero que debemos hacer es fijarnos en que un número es positivo y el otro negativo, por lo tanto estamos hablando de quitar un número a otro. Hasta ahí no hay dudas. Pero si nos fijamos, el número que quitamos es MAYOR que al que le quitamos. Es decir, es como si tenemos 5€ y debemos 7€. La realidad es que debemos 2€. Por tanto, tenemos claro que el número que tiene que salir es negativo. Así: 5 - 7 = -2.
• -7 + 5. Aquí sí que nos liamos más. Pero debemos fijarnos en algo, y es que esta operación es exactamente igual que la anterior, y tan solo hemos cambiado el orden a los números. Tenemos que darnos cuenta que da igual de qué forma escribamos la operación, ya que el resultado es el mismo. Por  tanto, -7 + 5 = 2.
• -4 -5. Aquí tenemos dos números negativos. Vamos a nuestra representación: si debo 4€ a una persona y también debo 5€ a otra persona, en total debo 9€. Así, cuando tengamos dos cantidades negativas, sumamos su valor absoluto y le ponemos el sigo negativo. De forma que -4 -5 = -9.  
• Es fundamental saber que hay varias formas de expresar lo mismo, por lo que -4 -5 podría haberlo escrito como -4 +(-5).

Reglas de signos en los paréntesis:

• +(-) = -. Es decir: + (-5) = -5
•  - (+)= -. Es decir: -(+7) = -7
• -(-)=+. Es decir: -(-4) = +4

Así:

• 7 + (-2) = 7 - 2 = 5
• 7 - (+8) = 7 - 8 = -1
• 6 - (-9) = 6 + 9 = 15

Suma y resta con enteros

Estoy explicando en 1º de ESO las operaciones de suma y resta con números enteros. Veo que los conceptos de números negativos no están del todo bien asimilados. Y creo que es un asunto bastante importante, ya que es la fuente de muchos problemas posteriores.

Voy a poner unos ejemplos simples pero que resumen todos los casos posibles:

2 + 5 = 7

2 - 5 = -3

-2 -5 = -7

2 - (-5) = 2 + 5 = 7

-2 + 5 = 3

-2 - (-5) = -2 + 5 = 3

En breve incluiré un vídeo explicando estas operaciones básicas.

Algoritmos

Uno de los mayores errores que se comete en España con la enseñanza de las Matemáticas es machacar una y otra vez con la mecánica de las operaciones. Desde que los alumnos empiezan los mecanismos de sumar, restar multiplicar y dividir, la mayor parte de las veces la obsesión de unos y otros es que dominen dichos algoritmos. Y los "castigamos" con decenas y decenas de cuentas que son todas iguales.

Hay que reconocer una cosa: los algoritmos son nada más una forma de hacer una operación, que además -como veremos en otras entradas del blog- no son la única. De ahí que lo que realmente importa no es tanto el modo en que el alumno realice la operación, sino que la comprenda. Pero comprender una multiplicación no es saber multiplicar y hacer 30 cuentas sin equivocarse. Eso es dominar cierto algoritmo de la multiplicación.

Así que tengamos una cosa clara: no importa el método, sino la compresión de qué estamos haciendo cuando operamos con esos números.

Matemáticas y magia

Hola a todos. Para empezar este blog y demostrar que las Matemáticas no son tan odiosas como pueden parecer, os dejo un juego de magia realmente bueno. Es con una carta pensada pero realmente no hace falta ninguna baraja...